1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ の解説

英文 (Full English Text)

In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs. Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as

$$\sum_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$$

The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, 3, ...), does not tend towards any finite limit. Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation:

$$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$$

A rigorous explanation of this equation would not arrive until much later. Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts. Many of these summability methods easily assign to 1 − 2 + 3 − 4 + ... a "value" of ⁠1/4⁠. Cesàro summation is one of the few methods that do not sum 1 − 2 + 3 − 4 + ..., so the series is an example where a slightly stronger method, such as Abel summation, is required. The series 1 − 2 + 3 − 4 + ... is closely related to Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler treated these two as special cases of the more general sequence 1 − 2n + 3n − 4n + ..., where n = 1 and n = 0 respectively. This line of research extended his work on the Basel problem and leading towards the functional equations of what are now known as the Dirichlet eta function and the Riemann zeta function.

第1セクション

対象英文パート (Target English Text)

In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs. Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as

$$\sum_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$$

日本語訳 (Japanese Translation)

数学において、1 − 2 + 3 − 4 + ···は、連続する正の整数に交互に符号を付けた無限級数です。シグマ記号による総和表記を用いると、この級数の最初のm項の和は以下のように表現できます：

$$\sum_{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$$

内容解説 (Content Explanation)

• 要旨: この段落では、1 − 2 + 3 − 4 + ···という無限級数の基本的な定義と、その数学的表記方法について説明しています。
• 補足情報: この級数は、正の整数（1, 2, 3, 4, ...）に交互に正負の符号（+, -, +, -, ...）を付けたものです。シグマ記号を使った総和表記では、(-1)^(n-1)という部分が交互の符号を生成しています。nが奇数の時は正、偶数の時は負の符号になります。

語彙・表現解説 (Vocabulary & Expressions)

• 重要単語 (Vocabulary)

  • infinite series (無限級数): 数学で無限個の項の和を表す表現。品詞は名詞。「infinite」(無限の)と「series」(級数、一連のもの)の複合語。
  • terms (項): 数式や数列を構成する個々の要素。品詞は名詞。「The terms of this equation are x and y.」(この方程式の項はxとyです)
  • successive (連続する): 順番に続く、連続的な。品詞は形容詞。類義語には「consecutive」「sequential」があります。
  • alternating (交互の): 順番に入れ替わる。品詞は形容詞（現在分詞形）。「The road has alternating black and white markings.」(その道路には黒と白のマーキングが交互にあります)
  • notation (表記法): 記号や文字を使って表現する方法。品詞は名詞。「Mathematical notation uses many symbols.」(数学的表記法は多くの記号を使います)

• フレーズ (Phrases)

  • sigma summation notation: シグマ総和表記。数学で総和を表す際に使われる標準的な表記法。
  • can be expressed as: 〜として表現できる。可能性や方法を示す表現。

文法・構文解説 (Grammar & Sentence Structure)

• 文構造の分析 (Sentence Structure Analysis)

  • 第1文: 「In mathematics, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs.」

    • 主語: 「1 − 2 + 3 − 4 + ···」
    • 動詞: 「is」
    • 補語: 「an infinite series」
    • 関係詞節: 「whose terms are the successive positive integers, given alternating signs」が「infinite series」を修飾

  • 第2文: 「Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as...」

    • この文は分詞構文「Using sigma summation notation」で始まり、主語は「the sum of the first m terms of the series」、動詞は「can be expressed」です。

• 重要文法事項の解説 (Explanation of Key Grammar Points)

  • 関係代名詞「whose」: 「infinite series whose terms」において、「whose」は「infinite series」の所有格の関係代名詞で、「その級数の項が」という意味を表しています。
  • 分詞構文「given alternating signs」: 「given」は過去分詞で「与えられた」という意味。ここでは「交互の符号が与えられている」と補足説明しています。

第2セクション

対象英文パート (Target English Text)

The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, 3, ...), does not tend towards any finite limit. Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation:

$$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$$

日本語訳 (Japanese Translation)

この無限級数は発散します。つまり、その部分和の数列 (1, −1, 2, −2, 3, ...) はどんな有限の極限値にも収束しません。それにもかかわらず、18世紀半ばに、レオンハルト・オイラーは自身も矛盾していると認めた次の方程式を記しました：

$$1-2+3-4+\cdots = \frac{1}{4}$$

内容解説 (Content Explanation)

• 要旨: この段落では、1 − 2 + 3 − 4 + ···という級数が数学的には発散することを説明した上で、18世紀の数学者オイラーが提示した矛盾した結果（1/4）について触れています。
• 補足情報: 発散級数とは、部分和が一定の値に近づかない級数のことです。この級数の部分和は(1, 1-2=-1, -1+3=2, 2-4=-2, ...)と振動し続け、収束しません。しかし、オイラーはある意味でこの級数に1/4という値を割り当てました。当時はまだ収束の厳密な定義が確立されていなかったため、このような「矛盾」が生じました。

語彙・表現解説 (Vocabulary & Expressions)

• 重要単語 (Vocabulary)

  • diverge (発散する): 一点に収束せず、広がっていくこと。品詞は動詞。反意語は「converge」(収束する)。「The opinions diverged greatly.」(意見は大きく分かれた)
  • partial sum (部分和): 級数の最初のいくつかの項を足した和。数学用語。
  • finite (有限の): 限りがある、無限でない。品詞は形容詞。反意語は「infinite」(無限の)。
  • limit (極限): 数列や関数が近づいていく値。品詞は名詞。「The limit of this function is zero.」(この関数の極限は0です)
  • paradoxical (矛盾した): 一見矛盾しているように見える。品詞は形容詞。「It's a paradoxical situation.」(それは矛盾した状況です)

• フレーズ (Phrases)

  • tend towards: 〜に向かう傾向がある。
  • admitted to be: 〜であると認める。

文法・構文解説 (Grammar & Sentence Structure)

• 文構造の分析 (Sentence Structure Analysis)

  • 第1文: 「The infinite series diverges, meaning that its sequence of partial sums, (1, −1, 2, −2, 3, ...), does not tend towards any finite limit.」

    • 主語: 「The infinite series」
    • 動詞: 「diverges」
    • 分詞句: 「meaning that...」は補足説明を導入
    • 従属節: 「that its sequence of partial sums... does not tend towards any finite limit」

  • 第2文: 「Nonetheless, in the mid-18th century, Leonhard Euler wrote what he admitted to be a paradoxical equation:」

    • 副詞: 「Nonetheless」(逆接)
    • 主語: 「Leonhard Euler」
    • 動詞: 「wrote」
    • 目的語: 「what he admitted to be a paradoxical equation」(関係代名詞whatを含む名詞節)

• 重要文法事項の解説 (Explanation of Key Grammar Points)

  • 現在分詞「meaning」による補足説明: 「diverges, meaning that...」は、前の内容を説明するための現在分詞の使い方です。「〜であり、それは〜を意味する」という関係を表します。
  • 関係代名詞「what」: 「wrote what he admitted...」の「what」は「彼が認めたもの」という意味の関係代名詞で、後ろの節全体が「wrote」の目的語となっています。

第3セクション

対象英文パート (Target English Text)

A rigorous explanation of this equation would not arrive until much later. Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts. Many of these summability methods easily assign to 1 − 2 + 3 − 4 + ... a "value" of ⁠1/4⁠. Cesàro summation is one of the few methods that do not sum 1 − 2 + 3 − 4 + ..., so the series is an example where a slightly stronger method, such as Abel summation, is required. The series 1 − 2 + 3 − 4 + ... is closely related to Grandi's series 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler treated these two as special cases of the more general sequence 1 − 2n + 3n − 4n + ..., where n = 1 and n = 0 respectively. This line of research extended his work on the Basel problem and leading towards the functional equations of what are now known as the Dirichlet eta function and the Riemann zeta function.

日本語訳 (Japanese Translation)

この方程式の厳密な説明は、ずっと後になるまで現れませんでした。1890年頃から、エルネスト・チェザロ、エミール・ボレルらが発散級数に一般化された和を割り当てる明確な方法を研究し始め、オイラーの試みに新たな解釈を加えました。これらの総和可能性方法の多くは、1 − 2 + 3 − 4 + ... に簡単に「値」1/4を割り当てます。チェザロ総和法は1 − 2 + 3 − 4 + ... を総和できない数少ない方法の一つであり、この級数はアーベル総和法のようなやや強力な方法が必要な例となっています。 1 − 2 + 3 − 4 + ... の級数はグランディの級数1 − 1 + 1 − 1 + ... と密接に関連しています。オイラーはこれら二つをより一般的な数列1 − 2n + 3n − 4n + ... の特殊なケース（それぞれn = 1とn = 0の場合）として扱いました。この研究の流れは、彼のバーゼル問題に関する研究を拡張し、現在ディリクレのイータ関数やリーマンのゼータ関数として知られる関数方程式へと発展していきました。

内容解説 (Content Explanation)

• 要旨: この段落では、オイラーの矛盾した結果に対する厳密な説明が19世紀末に登場したことや、発散級数に値を割り当てる様々な方法、そして1 − 2 + 3 − 4 + ...の級数が他の数学的概念との関連性について説明しています。
• 補足情報: 19世紀後半から20世紀にかけて、発散級数に対する理解が深まり、「総和可能性理論」と呼ばれる分野が発展しました。この理論では、通常の意味では収束しない級数に対しても、ある種の「値」を割り当てることができます。また、オイラーの研究はリーマンのゼータ関数など、現代数学の重要な概念の発展につながりました。

語彙・表現解説 (Vocabulary & Expressions)

• 重要単語 (Vocabulary)

  • rigorous (厳密な): 正確で詳細な、妥協のない。品詞は形容詞。「A rigorous examination」(厳密な検査)
  • assign (割り当てる): 特定の値や役割を与える。品詞は動詞。「The teacher assigned homework.」(教師は宿題を出した)
  • generalized (一般化された): 特定のケースから一般的な原理に広げられた。品詞は形容詞(過去分詞形)。
  • summability (総和可能性): 級数が総和（合計）できる性質。数学用語。
  • extended (拡張した): 広げた、延長した。品詞は動詞(過去形または過去分詞形)。「He extended his stay.」(彼は滞在を延長した)

• フレーズ (Phrases)

  • would not arrive until: 〜するまで現れなかった（過去の未来を表す表現）
  • closely related to: 〜と密接に関連している
  • special cases of: 〜の特殊なケース

文法・構文解説 (Grammar & Sentence Structure)

• 文構造の分析 (Sentence Structure Analysis)

  • 複文の分析: 「Starting in 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel and others investigated well-defined methods to assign generalized sums to divergent series—including new interpretations of Euler's attempts.」
    • 分詞構文: 「Starting in 1890」
    • 主語: 「Ernesto Cesàro, Émile Borel and others」
    • 動詞: 「investigated」
    • 目的語: 「well-defined methods」
    • 不定詞句: 「to assign generalized sums to divergent series」は目的を表す
    • 破格構文: 「—including new interpretations of Euler's attempts」は追加情報

• 重要文法事項の解説 (Explanation of Key Grammar Points)

  • 関係詞節: 「Cesàro summation is one of the few methods that do not sum 1 − 2 + 3 − 4 + ...」の「that do not sum...」は「methods」を修飾する関係詞節です。複数形の「methods」に合わせて、動詞も「do」という複数形になっています。
  • 受動態と能動態の使い分け: 「A rigorous explanation would not arrive」(能動態)と「These two as special cases... were treated by Euler」(受動態)のように、文の焦点に応じて使い分けられています。